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拉格朗日中值定理应用是：一点c在连续可倒区间内，只要使得f（a）-f(b)=f'(c)(b-a)成立即可。推导出的f'（c）可以看出是f(x)的斜率。
g(x)=e^x-ex
g(x)在[1，x]连续，在（1，x）可导
所以由拉格朗日中值定理
存在w∈(1,x),使得g'(w)=(g(x)-g(1))/(x-1)
e^w-e=(e^x-ex)/(x-1)
即e^x-ex=(x-1)*(e^w-e)
运动学意义：
对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。
拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。?
拉格朗日中值定理应用
拉格朗日中值定理可以秒杀某些复杂极限问题，设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=f（b）=0，证明：存在ξ∈（a，b），使得f'（ξ）=0。证明：由于f（a）=f（b）=0，根据罗尔定理，存在ξ∈（a，b），使得f'（ξ）=0。
应用拉氏中值求极限的核心：两个复合函数作差变成了内层函数作差，这就相当于将原来的两个复合函数的皮（外层函数f相当于皮）给剥掉了。这样的话，就能起到化繁为简的目的，这就是拉氏中值。
什么情况下用？
公式中有两处细节：a.复合函数作差；b.外层函数一致。所以，满足这两个条件，就可以马上掏出拉氏中值试一试。
怎么用？
数学做题的过程就是化繁为简，变未知到已知的过程。我们还是从第一点拉氏中值的本质入手，观察下这个式子：
拉式中值处理复合函数作差，我们最终是通过拉氏中值转化到右边的式子，如果右边的式子可以求出来，那么我们的工作就完成了，拉氏中值也完成了它得使命。
右边式子中f'（x），g（x），h（x）都是可以找出来或者求出来，而参数却让人为难，我们只知道参数的一个范围，但是具体是多少不一定清楚。所以这里就是一个关键问题，也是衡量拉氏中值能不能顺利做下去的命门：参数搞不搞的定！
那么参数如何搞定呢？一般有两个思路：a.夹逼定理；b.等价于某个关于x的式子。
夹逼定理：
我们知道了参数ξ的一个范围，它是在g（x）和h（x）之间，假设g（x）≥ h（x），那么就有h（x） ≤ξ≤g（x），是不是有点夹逼定理的味道了？如果取极限后g（x）和h（x）相等，那么参数ξ
就可以夹出来了。
话不多说，直接上题，彻底搞定这个思路：
本题中g（x）和h（x）都趋近于1，因此通过夹逼定理得到参数ξ也趋近于1，然后直接带进f'（x）中（代入后不为∞也不为0），就可以正常解出这个极限。
所以有本方法的：
适用范围：g（x）和h（x）都趋近于xo，同时limx→z。f'（x）存在且不为0。
不适用范围：如果g（x）和h（x）都趋近于0（或∞），且 limz→0（或∞）f’（x）为∞或者0，这时候夹逼定理得参数的值就不再适用了，尝试使用方法b搞。
等价于某个关于x的式子：
适用于：当内层函数趋近于0，同时x→0，f'（x）~mxk（其中m，k为非0常数）。
或者当内层函数趋近于∞，同时x→∞，f（x）~mxk（其中m，k为非0常数）。
上述条件看似很严格，但是所幸在考研极限题目中，基本上都是满足的，本文所选取的极限也
是满足的。
所以其作为一个隐含条件在过程中就没有体现。严谨的小伙伴可以在用该方法求极限之前稍微判定一下。
补充两点：
1、对于数列极限，也可以运用拉氏中值求解，只不过需要在运用之前将数列转变为函数，即
n → x，即可。
2、方法b及相应的结论在计算小题时，可以快速得到答案；对于大题而言，可以用这个方法及结论快速判断能否用拉氏中值，同时可以利用这个方法快速验算自己的结果。如果想要在大题中使用方法b，则具体步骤要写的详细一点（利用夹逼定理）。
拉格朗日中值定理应用如下：
拉格朗日中值定理是微分学理论中非常突出的成果，在理论和应用上都有着极其重要的意义。它沟通了函数与其导数的联系，因此很多时候可以从导数的角度来研究函数在其定义域上的性质。?
拉格朗日中值定理的应用比罗尔中值定理和柯西中值定理的应用更加广泛，因为它对函数的要求更低，而且建立了函数增量、自变量增量及导数之间的联系，这为利用导数解决函数的相关问题提供了重要支撑。?
总的来说，在研究函数的单调性、凹凸性以及求极限、恒等式、不等式的证明、判别函数方程根的存在性、判断级数的敛散性以及证明与函数差值有关的命题，以及计算未定式极限等方面，都可能会用到拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理的几何意义也有较为广泛的应用。此外，拉格朗日中值定理的变形公式指出了函数与导数的一种关系，因此，可以利用这种关系研究函数的性质。
发展历程：
人类对微分中值定理的认识始于古希腊时代。当时的数学家们发现，过抛物线顶点的切线必平行于抛物线底端的连线，阿基米德还利用该结论求出了抛物线弓形的面积。这其实就是拉格朗日中值定理的特殊情形。
1635年，意大利数学家博纳文图拉卡瓦列里在《不可分量几何学》中描述：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦，即卡瓦列里定理。它反映了微分中值定理的几何形式。
1637年，法国数学家皮耶德费马在《求最大值和最小值的方法》中给出了费马定理，即函数在极值点处的导数为零。
1691年，法国数学家米歇尔罗尔在《方程的解法》中给出了多项式形式的罗尔中值定理，后来发展成一般函数的罗尔定理，并且正是由费马定理推导而出。
1797年，法国数学家约瑟夫拉格朗日在《解析函数论》中首先给出了拉格朗日中值定理，并予以证明。它也是微分中值定理中最为主要的定理。
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