等比数列前n项和公式的推导

等比数列的前n项和公式是Sn=1?qa1(1?qn)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。

1、公式的推导过程

设等比数列的通项公式为：an=a1qn?1，其中a1是首项，q是公比，n是项数。设等比数列的前n项和为Sn=a1+a2+?+an根据通项公式可将Sn写成Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn?1将上式两边乘以q得qSn=a1q+a1q2+a1q3+?+a1qn。

将两式相减得(1?q)Sn=a1?a1qn当q?=1时，两边除以(1?q)得Sn=1?qa1(1?qn)当q=1时，等比数列退化为等差数列，此时有Sn=na1。

2、公式的应用范围

等比数列的前n项和公式适用于任意的首项a1和公比q，只要n是正整数。当n→∞时，如果∣q∣<1，则等比数列的前n项和趋于一个极限值n→∞limSn=1?qa1如果∣q∣≥1，则等比数列的前n项和没有极限，因为各项的绝对值不趋于零。

循环小数与等比数列的关系

一、循环小数的定义

1、循环小数是一种小数，它的小数部分有一段或几段数字不断重复出现，称为循环节。

2、循环小数可以分为纯循环小数和混循环小数两种。纯循环小数是指小数点后全部数字都是循环节，如0.3=0.333?；混循环小数是指小数点后有一部分数字不是循环节，如0.234=0.2343434?

二、循环小数与等比数列的联系

1、循环小数可以看作是一个无穷等比数列的和。例如，纯循环小数0.3可以写成

0.3=0.3+0.03+0.003+?=103+1003+10003+?=1?101103=93=31

2、混循环小数也可以用类似的方法转化为有限等比数列与无穷等比数列的和。例如，混循环小数0.234可以写成0.234=0.2+0.034+0.00034+?=0.2+100034+10000034+?=0.2+1?1000100100034=9023。

前n项和Sn=n×a1 (q=1) ， Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1且q≠0)

无穷递缩等比数列所有项和S=lim(n-->∞)Sn=lim(n-->∞)a1(1-q^n)/(1-q)=a1/(1-q)(|q|<1且q≠0),

n为项数，an为项，q为公比

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