arctanx泰勒展开

结论：泰勒展开是数学中一种常用的近似计算方法，对于反正切函数arctan(x)，我们可以利用其导数的特性来推导其泰勒展开式。下面是arctan(x)的展开过程：

首先，我们注意到1/(1-x)的泰勒展开式是1+x+x^2+x^3+...，这表明当x趋向于0时，其无限级数形式可以精确表示。

接下来，我们观察到1/(1+x^2)的展开式，它是1-x^2+x^4-x^6+...，这是通过将1/(1-x)中的-x^2替换得到的。这个变换揭示了arctan(x)与正弦和余弦函数之间的关系。

关键点在于arctan(x)的导数恰好是1/(1+x^2)，这意味着如果我们对1/(1+x^2)进行积分，就得到了arctan(x)的泰勒展开。积分后的结果是arctan(x)=x-(x^3)/3+(x^5)/5-(x^7)/7+...，这是一个关于x的无穷级数，当x接近0时，这个级数提供了arctan(x)的精确近似。

总之，arctan(x)的泰勒展开式是其导数1/(1+x^2)的原函数，这为我们提供了在特定条件下计算arctan值的数学工具。这个展开式在数学分析和工程计算中有着广泛的应用，尤其是在需要处理小角度或需要高精度近似时。

没“为什么”，具体的展开就能看出来了。sinx的展开方法一般课本上都会作为例题给出，此处只讨论arctanx的展开方法，它一般是通过已知的展开式

1/(1+t) = ∑(n=0到∞)(-t)^n，-1<t<=1，

可得

1/(1+t^2) = ∑(n=0到∞)(-t^2)^n，

= ∑(n=0到∞)[(-1)^n]*t^(2n)，-1<=t<=1，

再利用两边同积分（0到x的积分）而得到，你看看通项一样不一样？

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