微分算子法解二阶常系数线性非齐次方程

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通常情况下，求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解有3种方法：

①待定系数法 ②拉普拉斯变换 ③微分算子法

虽然它们的解法过程形式迥异，但最后的特解形式一般情况下却是惊人的一致。

但值得一提的是对于一些特殊形式下的二阶常系数非齐次线性微分方程(如缺少y项)，按照“待定系数法”和“微分算子法”可能结果微有差异，但两者的特解形式均可。

例：2y''-y'=x^2-3x，

“待定系数法”求得y*=-1/3x^3-1/2x^2-2x

“微分算子法”求得y*=-1/3x^3-1/2x^2-2x+12（提出1/D）,

或y*=-1/3x^3-1/2x^2-2x-4（不提出1/D，直接大除法）。

该方程的齐次通解：y=C1e^(1/2x)+C2 非齐次通解：y=C1e^(1/2x)+C2-1/3x^3-1/2x^2-2x

但无论如何，这两种方法得到的特解形式都是正确的，你会发现相差的一个常数在求导的时候就没了（而这种特殊的缺乏y项的二阶常系数非齐次线性微分方程刚好满足：“待定系数法”是特解，而“待定系数法”加任意常数依然是该微分方程的特解，而“微分算子法”的特解不过是诸多结果中的两个特殊形式解而已。而以上分析可以由方程的非齐次通解形式很直观的看出。）

终上所述：

1.一般情况下，不同的方法求解出来的特解形式是一致的。

2.特殊的微分方程，用不同的方法求解出来的特解形式不完全一致，但其结果都是正确的并满足要求的。

3.既然是特解，必然也属于通解中的一员。

故特解理论上的形式绝不唯一，关键看你是如何逆向求得的。

希望对你能有所帮助。

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